Laboratoire de Mathématiques et Dynamique des Populations

Thématiques et axes de recherche

Axe 1: Dynamique de population, épidémiologie, et écologie mathématique, gestion des ressources halieutiques en particulier la biodiversité, problèmes de démographie, dynamique urbaine, propagation des épidémies (Khaladi, Hbid).

Les recherches sont consacrées principalement au développement de méthodes mathématiques en dynamique des populations. Elles  portent généralement sur la modélisation et étude de modèles en épidémiologie et  en écologie mathématiques: modélisation de populations spatialisées, modèles discrets, continus, déterministes ou stochastiques, théorie des jeux dynamique. En épidémiologie mathématique, partant de la définition de R0  dans  un environnement périodique qui n’a pas une interprétation similaire a celle dans le cas d’un environnement constant, et sur la base de travaux que nous avons initié  avec N. Bacaer A. Ed-darraz, nous continuons à explorer les différentes possibilités pour une définition adéquate  de R0 pour des modèles stochastiques (stochasticité démographique ou environnementale). Nous nous intéressons également aux applications à des cas pratiques d’épidémies connus en halieutique, nous continuons avec El Foutayeni et collaborateurs à explorer des modèles mettant en compétition plusieurs pêcheurs pour étudier l’impact de la pêche sur la conservation de la biodiversité, la durabilité de la ressource et l’évolution des prix. En collaboration avec l’équipe de Jean-Yves Weigel, économiste IRD, nous nous intéressons  aux problèmes de vulnérabilité des différentes filières utilisant la sardine comme ressource pour leurs activités. Le Maroc dispose de plusieurs points de débarquement des sardines. La compétition sur la ressource débarquée se fait entre plusieurs activités. Un point de débarquement peut alimenter plusieurs activités situées dans des zones géographiques différentes et chaque unité s’approvisionne à partir d’un ou plusieurs points de débarquement connus. Nous nous proposons d’étudier l’impact de perturbations de  la disponibilité de la ressource par zone de débarquement sur la  vulnérabilité de chacun des segments de la filière dans chaque zone d’activité. Pour  cela nous proposons un modèle mathématique qui, partant du modèle de connaissance et des données disponibles sur la filière, va  traduire cette  compétition sur la ressource entre différents segments de la filière pêche de sardine au Maroc.  Le but de ce projet  objet  est de développer des outils de modélisation pour définir et prédire les changements générés au sein de l’écosystème atlantique marocain. Il vise trois aspects complémentaires :

  • La compréhension des processus hydrologiques,  des cycles biogéochimiques, de la productivité (phytoplancton  – zooplancton) à différentes échelles spatio – temporelles, de la dynamique  des habitats de ponte.
  • La modélisation des interactions des composantes biologiques et des facteurs physico chimiques de l’écosystème.
  • Un suivi de l’évolution des Aires Marines Protégées (AMPs) par des outils d’indicateurs biologiques et des outils de modélisation.

La finalité est de mettre en œuvre un simulateur (ou laboratoire virtuel)  rassemblant plusieurs modèles mathématiques et informatiques susceptibles de  renseigner sur l’évolution de l’écosystème atlantique marocain (zone : Safi-Boujdour) de manière générale et sur les AMPs qui y sont installées en fonction des paramètres physiques et biogéochimiques.

Axe 2 : Équations différentielles à retard (Cas déterministe et stochastique). Réduction de complexité, variétés invariantes, variété centre, stabilité et comportement asymptotique.

Les équations différentielles à retard sont des systèmes dynamiques en dimension infinie. Par conséquent, les techniques classiques connues pour les équations différentielles ordinaires ne peuvent pas toujours s’appliquer. La méthode principale que nous adoptons pour ces équations est basée sur une formule intégrale de type « formule de variation des constantes » combinée avec un principe de réduction de complexité. Cela consiste à réduire l’étude qualitative à un système différentiel ordinaire dans un espace de dimension finie. La réalisation de ce travail dans le cadre des équations à retard permettra d’ouvrir de nouvelles perspectives dans l’étude de la stabilité et du comportement asymptotique des équilibres. D’autre part, les méthodes utilisées dans l’étude des équations différentielles à retard sont très souvent celles de l’analyse fonctionnelle et des systèmes dynamiques (semi-groupes). Bien que le problème d’existence des solutions est basé sur des techniques classiques de point fixe, pour étudier leurs propriétés asymptotiques on fait une analyse assez délicate des composantes du spectre du semi-groupe linéaire associé à l’équation : spectre ponctuel, spectre essentiel et spectre résiduel.

Axe 3: Théorie de contrôle (Maniar, Ait Ben Hassi, Boulite, Halloumi): Stabilization, Estimations de Carleman, Contrôlabilité, observabilité, problèmes inverses des systèmes linéaires et semilinéaires parabolic.

La théorie du contrôle analyse les propriétés des systèmes commandés, c’est-à-dire des systèmes dynamiques sur lesquels on peut agir au moyen d’une commande (ou contrôle). Le but est alors d’amener le système d’un état initial donné à un certain  état final, en respectant éventuellement certains critères, dans ce cas le système est dit contrôlable. Les systèmes abordes sont multiples : systèmes différentiels, systèmes discrets, systèmes avec bruit, avec retard… Leurs origines sont très diverses : mécanique, électricité́, électronique, biologie, chimie, économie…  L’objectif peut être de stabiliser le système pour le rendre insensible à certaines perturbations (stabilisation), ou encore de déterminer des solutions réalisant l’équilibre de système. Du point de vue mathématique, un système de contrôle est un système dynamique dépendant d’un paramètre dynamique appelé le contrôle. Pour le modéliser, on peut avoir recours à des équations différentielles, intégrales, fonctionnelles, aux différences finies, aux dérivées partielles, stochastiques, etc. Pour cette raison la théorie du contrôle est à l’inter- connexion de nombreux domaines mathématiques. Les contrôles sont des fonctions ou des paramètres, habituellement soumis à des contraintes. Il y a plusieurs manières d’atteindre un certain état final. En effet, Il existe plusieurs modes de contrôlabilité : Contrôlabilité exacte, approchée, aux trajectoires ou à zéro. Pour les systèmes finis, ces concepts de contrôlabilité sont tous équivalents, on a même un critère de contrôlabilité algébrique, le critère de Kalman, pour les systèmes linéaires à coefficients constants qui nous permet d’avoir une condition nécessaire et suffisante de contrôlabilité. Mais pour les systèmes distribués, les notions de contrôlabilité sont bien distinctes. C’est le cas des systèmes linéaires gouvernés par des équations aux dérivées partielles, comme l’équation de la chaleur, l’équation des ondes et l’équation de Shrödinger. Chacune de ces notions de contrôlabilité est équivalente à une notion duale que l’on appelle observabilité et qui est le moyen par lequel, en général, on établit la contrôlabilité d’un système.  Dans le cas de systèmes distribués paraboliques, établir  une inégalité d’observabilité, s’obtient par une estimation plus efficace, dite estimation de Carleman. Ces dernières estimations ont fait l’objet de plusieurs travaux ces 20 dernières années.

Axe 5 : Analyse numérique des EDPS.

Dans les applications réelles, la modélisation des systèmes complexes se traduit souvent par des équations aux dérivées partielles (EDP). Dans la plupart des cas, le but ultime n’est pas seulement l’analyse mathématique ou la simulation numérique de ces équations, mais plutôt l’optimisation de certains processus liés au modèle. Par exemple, l’assimilation des données pour les prévisions météorologiques, l’optimisation de forme d’une aile d’avion, la gestion des réservoirs d’eau, le contrôle optimal du traitement thermique du cancer et beaucoup d’autres applications mènent à des problèmes d’optimisation sous contrainte d’EDP. Puisque les solutions analytiques de ces problèmes sont rarement disponibles, il faut recourir à des techniques de résolution numériques. Malheureusement, ces techniques impliquent généralement la résolution à grande échelle de problèmes de programmation non linéaire dont le traitement est difficile. En fait, l’interaction entre l’algorithme d’optimisation, l’EDP sous-jacent et le schéma de discrétisation doivent être soigneusement pris en compte pour concevoir des algorithmes de résolution efficaces et fiables. MPECs dans des espaces de fonctions : Dans cette classe, le problème d’optimisation contient en particulier une contrainte de complémentarité ou une inéquation variationnelle. Dans des travaux antérieurs nous nous sommes concentrés sur le développement de conditions d’optimalité de premiers ordre ainsi sur la conception et la mise en œuvre d’algorithmes de résolution efficaces pour quelques problèmes elliptiques et paraboliques. Dans ce projet nous nous intéressons à un problème couplé en mécanique du contact. Plus précisément nous considérons le contrôle optimal du problème des deux membranes. Le modèle de Darcy-Cahn-Hilliard pour le problème d’intrusion marine : Dans les régions côtières l’exploitation intensive des eaux souterraines provoque une baisse de la charge hydraulique de l’eau douce et mène à l’invasion de l’eau de mer vers les aquifères. Ce phénomène, appelé intrusion d’eau salée, est l’un des problèmes majeurs de l’environnement. Pour simuler le phénomène et de faire des estimations quantitatives des décisions qui devraient être prises il est nécessaire d’utiliser des modèles mathématiques. L’eau douce et l’eau salée sont deux fluides miscibles et donc, la zone les séparant prend la forme d’une zone de transition causée par la dispersion hydrodynamique. Dans ce projet, nous allons modéliser le problème d’intrusion marine en couplant l’équation de Darcy avec les équations de Cahn-Hilliard avec une énergie libre de type double obstacle. Après une discrétisation appropriée dans le temps, le système résultant sera traité comme un cas particulier d’un problème d’optimisation sous contrainte d’EDP.

Axe 6 : Théorie de point fixe et applications.

La théorie du point fixe est un magnifique mélange d’analyse, de topologie et de la géométrie. C’est une théorie interdisciplinaire qui fournit des outils puissants pour la résolution de problèmes centraux dans de nombreux domaines d’actualité en mathématiques ainsi que les autres sciences quantitatives, telles que la physique, l’ingénierie, la biologie, l’économie, etc. En fait, l’existence de problèmes linéaires et non linéaires est couramment traduit en problèmes de point fixe ; par exemple, l’existence des solutions d’équations aux dérivées partielles, l’existence d’orbites périodiques fermées dans les systèmes dynamiques, et aussi, l’existence d’ensemble de réponse en programmation logique. Ce qui rend la théorie de point fixe un domaine perpétuellement en activité et d’actualité vu qu’il traite des problèmes de la vie réelle.

Membres permanents
Nom et Prénom Grade Spécialité Axe de recherche
Abbassi Abderrahman PA Mathématiques Optimization
Ait Babram Mohamed PES Mathématiques Équations différentielles
Amraoui Saida PES Mathématiques Problèmes d’évolutions
Baroun Mahmoud PA Mathématiques Théorie du contrôle et applications
Boulite Said PH Mathématiques Théorie du contrôle et applications
Bouaziz Mohssine PA Mathématiques Équations différentielles
Chbani Zaki PES Mathématiques Optimiztion
Ezzinbi Khalil PES Mathématiques Systèmes dynamiques et équations différentielles
Fadili Mohamed PA Mathématiques Théorie de contrôle
Fatajou Samir PH Mathématiques Systèmes dynamiques
Halloumi Mohamed PA Mathématiques Théorie du contrôle et applications
Hbid My Lhassan PES Mathématiques Équations différentielles et applications en dynamique de populations
Khaladi Mohamed PES Mathématiques Équations différentielles et applications en dynamique de populations
Maarouf Hamid PH Mathématiques Théorie de contrôle
Maniar Lahcen PES Mathématiques Théorie du contrôle et applications
Riahi Hassan PES Mathématiques Optimisation
Tber My Hicham PH Mathématiques Analyse numérique des EDP
Outada Nisrine PA Mathématiques  Modélisation en théorie cinétique des particules actives
Publications Récentes
  1. F. Elamrani, K. Ezzinbi, S. Fatajou, Eberlein weak almost periodic solutions for a class of integrodifferential equations with infinite delay, Nonauton. Dyn. Syst., 5(1): 127–137, (2018).
  2. R. Benkhalti, B. Es- Sebbar, K. Ezzinbi, On a Bohr-Neugebauer property for some almost automorphic abstract delay equations, J. Integral Equations Appl., 30(3): 313-345, (2018).
  3. M. Alia, K. Ezzinbi, M.E. K. Kpoumiè, Mild solutions for some nonautonomous partial functional differential equations with infinite delay, Afr. Mat., 29(7-8): 1115–1133, (2018).
  4. K. Ezzinbi, M. Ziat, Positive μ-pseudo almost periodic solutions for some nonlinear infinite delay integral equations arising in epidemiology using Hilbert’s projective metric, Nonauton. Dyn. Syst., 5(1): 89-101, (2018).
  5. N. Drisi, B. Es- Sebbar, K. Ezzinbi, Compact almost automorphic solutions for some nonlinear dissipative differential equations in Banach spaces, Numer. Funct. Anal. Optim., 39(7): 825-841, (2018).
  6. M. A. Diallo, K. Ezzinbi, A. Sène, Optimal control problem for some integrodifferential equations in Banach spaces, Optimal Control Appl. Methods, 39(2):  563–574, (2018).
  7. M. Dieye, M. A. Diop, K. Ezzinbi, Necessary conditions of optimality for some stochastic integrodifferential equations of neutral type on Hilbert spaces, Appl. Math. Optim., 77(2):  343–375, (2018).
  8. M. Baroun, K. Ezzinbi, K. Khalil, L. Maniar, Pseudo almost periodic solutions for some parabolic evolution equations with Stepanov-like pseudo almost periodic forcing terms, J. Math. Anal. Appl., 462(1): 233–262, (2018).
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